Автоматика Автоматизация Архитектура Астрономия Одит Биология Счетоводство Военна генетика География Геология Държавна къща Други Журналистика и медии Изобретателност Чужди езици Информатика История на изкуството Компютри Кулинарна култура Лексикология Литература Логика Маркетинг Математика Механика Механика Мениджмънт Метал и заваръчна механика Музика Население Образование Сигурност Безопасност на труда Трудова педагогика Политика Право Pryborostroenye Програмиране Производство индустрия Психология P DiO Rehylyya Communications Социология Спорт стандартизация Строителни технологии Търговия Туризъм Физика физиология Философия Финанси Химия икономика Tsennoobrazovanye Cherchenye Екология Эkonometryka икономиката Електроника Yuryspundenktsyya

Частични деривати и тяхното геометрично съдържание

Прочетете още:
  1. V. Съдържание на темата.
  2. Алкалоидите са бензалинохинолинови производни
  3. Алкалоидите са тропически производни
  4. Алкалоидите са производни на фенантрениносхинолин
  5. Балансът, неговата конструкция, съдържанието и оценката на статиите.
  6. Б) представляват съдържанието на социалната защита на безработните.
  7. Взаимовръзка на етапите на анализ с целта и съдържанието на произведенията
  8. Да се ​​дефинира съдържанието на "социологията на младежта" - 15 б.
  9. Идентифицирайте съдържанието на социалния конфликт - 15 б.
  10. Идентифицирайте съдържанието на младежката социология - 15 б.
  11. Изисквания към съдържанието на основното средно образование
  12. Изисквания за съдържанието и местоположението на реквизитите

Нека функцията на няколко променливи да бъде дефинирана в някой отворен домейн D.

Определение 1.12. Границата е съотношението на частичното нарастване на функция към определен аргумент в точката към нарастването на този аргумент, като последният се нулира в случай на съществуването и крайността на границата, се нарича частично производно на разглежданата функция от конкретния аргумент.

За функция от две променливи, частичните производни на х означават един от символите

; ; ,

По подобен начин, частичното производно на y се обозначава съответно

; ; ,

По този начин, по дефиниция 1.12, частични производни и се определят от следните отношения:

,

,

Ако вместо фиксирана точка вземете произволна точка , тогава частичните деривати се записват съответно и ,

Операцията за намиране на частични производни на функцията на няколко променливи се нарича нейната диференциация .

Забележка 1.7. Тъй като в дефиницията на частично производно на функция по някой от аргументите всички останали аргументи се считат за постоянни, тогава когато се диференцира дадена функция от този аргумент, тя трябва да бъде диференцирана като функция на тази една променлива, като се имат предвид останалите променливи постоянни. Следователно правилата за намиране на частични производни на функцията на няколко променливи са същите като правилата за диференциране на функцията на една променлива.

Пример 1.10. Намерете частични деривативни функции:

а) ; б) ,

R e s n a n s

а) ,

;

б) ;

;

,

Забележка 1.8. Както е известно, за функцията на една променлива, нейната приемственост е предпоставка за наличието на производно в разглежданата точка. Оказва се, че за функциите на няколко променливи това не е така. Можете да сте сигурни в това, като разгледате функцията, която вече ни е известна

За тази функция неговите частични нараствания в точката O (0; 0) са равни на:

; ,

Така че има

,

,

Но ние знаем (пример 1.9), че тази функция в точката O (0; 0) е прекъсната.

Също така отбелязваме, че непрекъснатостта на дадена функция в дадена точка все още не предполага съществуването на нейните частични производни в този момент. Наистина, например, една функция е дефиниран и непрекъснат във всички точки на равнината, по-специално в точката O (0; 0), но в този момент няма никакви частични производни в нито един от аргументите.

Заключение 1.1. От изложеното по-горе и от наблюдението 1.8 следва, че няма връзка между непрекъснатостта на функцията на няколко променливи в точката и съществуването на нейните частични производни в този момент.



Сега виждаме геометричното съдържание на частичните производни на функцията на две променливи.

Нека функцията изобразени на повърхността (Фигура 1.5). В домейна D на функцията вземаме произволна точка , Тази точка е на повърхността съответства на точката ,

Като се вземе предвид бележка 1.7, когато се намери частично производно на аргумента x на функция в точката променливата y се счита за постоянна, което е равно , Така че, функционирайте при е функция на една променлива ,

Геометричното изображение на тази функция е линия на пресичане на повърхността на самолета

, На фигура 1.5, това е линията KN 0 L. дериват функция в точката означава допирателната към ъгъла , която се допира до кривата KN 0 L в точката N 0 , с положителна посока на оста Ox. Очевидно е това ,

Следователно, от горното и от последното равенство, такъв геометричен смисъл на частичното производно на х функционира : частично производно на x функциите в точката е равна на допирателната на ъгъла между положителната посока на оста О и допирателната, извършена в точката до крива KN 0 L.

Ако за дадена функция да вземе и поддържаме разсъждения, подобни на тези, направени по-горе, получаваме следното геометрично съдържание на частичното производно във функцията в точката : частично производно във функцията в точката е равна на допирателната ъгъл между положителната посока на оста Ou и допирателната, извършена в точката до кривата, образувана при пресичането на повърхността равнина, минаваща през точката N 0 и успоредна на равнината yOz .


Лекция 2 Диференциране на функцията на няколко променливи

2.1 Определение на диференциацията, връзката между приемственост и съществуването на частични деривати

Нека функцията на две променливи определени в домейн D, за която точка е вътрешен. Да дадем аргументите x и y в тази точка на нарастване и , в същото време не е равен на нула, така че точката принадлежал на район D.

Определение 2.1. функция наречен диференциран в точката , ако пълното му нарастване в тази точка може да бъде представено във формата

, (2.1)

където А и В не зависят от стъпките и , както и и безкрайни функции с и , т.е.

‡ зареждане ...

, , (2.2)

Пример 2.1. За функцията пълното нарастване на произволна точка могат да бъдат написани като:

,

Лесно е да се види, че пълното увеличение за дадена функция е написано във формата (2.1) на , , , , които отговарят на всички условия в 2.1. Следователно, нашата функция е диференцирана във всички точки на самолета.

Следните теореми ще се прилагат за разграничаването между приемственост и съществуването на частични деривати.

Теорема 2.1. Ако функцията е диференцирани в точката , тогава то е непрекъснато в този момент.

Д о в д д е н е Съгласно Определение 2.1 за пълна функционална печалба в точката (2.1). Всеки от четирите термини от дясната страна на това равенство е безкрайно малка функция и , средства и тяхната сума - безкрайно малка функция в и , т.е.

,

Това равенство предполага непрекъснатостта на нашата функция в точката М 0 .

Теоремата е доказана.

Забележка 2.1. Както следва от тази теорема, непрекъснатостта на дадена функция в дадена точка е

необходимо условие за диференциация на този етап. Ще проверим по-долу

че приемствеността не е достатъчно условие за диференциация.

Теорема 2.2. Ако функцията е диференцирани в точката , тогава на този етап съществуват частични производни функции и освен това

, , (2.3)

Д о в д д е н е За нашата функция в момента равенството (2.1) е изпълнено. Нека поставим в това равенство , както и , Тогава пълното увеличение ще съвпадне с частично увеличение и равнопоставеност (2.1) приема следната форма:

,

Разделяне на двете части на последното равенство , ще имаме:

,

Като вземем предвид (2.2), виждаме, че то съществува ,

Но по дефиниция , Това означава, че то съществува

,

Ако в равенство (2.1 пункта , както и , тогава получаваме:

,

Разделяне на двете части на това равенство и отиваш на границата на , получи си

,

Теоремата е доказана.

Забележка 2.2. От последната теорема следва, че необходимото условие за диференциране на функцията на няколко променливи в дадена точка е съществуването на всички частични производни в тази точка. Отбелязваме, че за дадена функция на една променлива съществуването на нейното производно в дадена точка е необходимо и достатъчно условие за диференциране на функция в тази точка. Но за диференциране на функцията на няколко променливи в точката на съществуване на всички техни частични деривати в тази точка не е достатъчно условие. Това е следствие от следните съображения.

В бележка 1.8 сме задали функция

(0, 0) има частични производни, но в същото време е прекъсната в тази точка, следователно, според Теорема 2.1, не може да бъде диференцирана в точката O (0; 0).

Забележка 2.3. Както може да се види от предходните съображения, няма връзка между непрекъснатостта на функцията на няколко променливи в точката и наличието на частични производни в този момент.

Теорема 2.3. Ако функцията е в близост до точката има частични производни и тези частични производни са непрекъснати функции в момента , тогава функцията диференцирани на този етап.

Д о в д д е н е Пълна функция за печалба в точката могат да бъдат написани като:

(2.4)

Изразът в първите скоби е печалбата в точката x 0 на функцията на една променлива , а изразът в други скоби е нарастването в точката при 0 на функцията на една променлива , В съответствие с условието на теоремата за функция и имат съответно производни (това са частични производни на функцията ) в някои части на точките и , Следователно, от Lagrange теорема, тези стъпки могат да бъдат написани, както следва:

,

, (2.5)

където и - някои числа от интервала (0; 1).

Помислете за функциите

,

, (2.6)

Тъй като двете частични деривати и са непрекъснати функции в точката , тогава

, ,

Уравненията (2.6) могат да бъдат пренаписани както следва:

,

,

След това, като се вземе предвид (2.5), пълното увеличение (2.4) ще бъде написано, както следва:

, (2.7)

Следователно, в съответствие с определението в точка 2.1, функцията диференцирани в точката ,

Теоремата е доказана.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 6 | | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 17 | 18 | 19 | 20 |


Когато използвате материала, поставете връзка към bseen2.biz (0.116 сек.)